(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
dx(X) → one
dx(a) → zero
dx(plus(ALPHA, BETA)) → plus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(times(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, dx(ALPHA)), times(ALPHA, dx(BETA)))
dx(minus(ALPHA, BETA)) → minus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(neg(ALPHA)) → neg(dx(ALPHA))
dx(div(ALPHA, BETA)) → minus(div(dx(ALPHA), BETA), times(ALPHA, div(dx(BETA), exp(BETA, two))))
dx(ln(ALPHA)) → div(dx(ALPHA), ALPHA)
dx(exp(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, times(exp(ALPHA, minus(BETA, one)), dx(ALPHA))), times(exp(ALPHA, BETA), times(ln(ALPHA), dx(BETA))))
Rewrite Strategy: FULL
(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
dx(plus(ALPHA, BETA)) →+ plus(dx(ALPHA), dx(BETA))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [ALPHA / plus(ALPHA, BETA)].
The result substitution is [ ].
(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.
(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
dx(X) → one
dx(a) → zero
dx(plus(ALPHA, BETA)) → plus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(times(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, dx(ALPHA)), times(ALPHA, dx(BETA)))
dx(minus(ALPHA, BETA)) → minus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(neg(ALPHA)) → neg(dx(ALPHA))
dx(div(ALPHA, BETA)) → minus(div(dx(ALPHA), BETA), times(ALPHA, div(dx(BETA), exp(BETA, two))))
dx(ln(ALPHA)) → div(dx(ALPHA), ALPHA)
dx(exp(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, times(exp(ALPHA, minus(BETA, one)), dx(ALPHA))), times(exp(ALPHA, BETA), times(ln(ALPHA), dx(BETA))))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL
(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.
(6) Obligation:
TRS:
Rules:
dx(X) → one
dx(a) → zero
dx(plus(ALPHA, BETA)) → plus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(times(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, dx(ALPHA)), times(ALPHA, dx(BETA)))
dx(minus(ALPHA, BETA)) → minus(dx(ALPHA), dx(BETA))
dx(neg(ALPHA)) → neg(dx(ALPHA))
dx(div(ALPHA, BETA)) → minus(div(dx(ALPHA), BETA), times(ALPHA, div(dx(BETA), exp(BETA, two))))
dx(ln(ALPHA)) → div(dx(ALPHA), ALPHA)
dx(exp(ALPHA, BETA)) → plus(times(BETA, times(exp(ALPHA, minus(BETA, one)), dx(ALPHA))), times(exp(ALPHA, BETA), times(ln(ALPHA), dx(BETA))))
Types:
dx :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
one :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
a :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
zero :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
plus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
times :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
minus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
neg :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
div :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
exp :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
two :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
ln :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
hole_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln1_0 :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0 :: Nat → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
dx
(8) Obligation:
TRS:
Rules:
dx(
X) →
onedx(
a) →
zerodx(
plus(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
dx(
ALPHA),
dx(
BETA))
dx(
times(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
times(
BETA,
dx(
ALPHA)),
times(
ALPHA,
dx(
BETA)))
dx(
minus(
ALPHA,
BETA)) →
minus(
dx(
ALPHA),
dx(
BETA))
dx(
neg(
ALPHA)) →
neg(
dx(
ALPHA))
dx(
div(
ALPHA,
BETA)) →
minus(
div(
dx(
ALPHA),
BETA),
times(
ALPHA,
div(
dx(
BETA),
exp(
BETA,
two))))
dx(
ln(
ALPHA)) →
div(
dx(
ALPHA),
ALPHA)
dx(
exp(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
times(
BETA,
times(
exp(
ALPHA,
minus(
BETA,
one)),
dx(
ALPHA))),
times(
exp(
ALPHA,
BETA),
times(
ln(
ALPHA),
dx(
BETA))))
Types:
dx :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
one :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
a :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
zero :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
plus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
times :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
minus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
neg :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
div :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
exp :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
two :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
ln :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
hole_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln1_0 :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0 :: Nat → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
Generator Equations:
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(0) ⇔ a
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(+(x, 1)) ⇔ plus(a, gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
dx
(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol dx.
(10) Obligation:
TRS:
Rules:
dx(
X) →
onedx(
a) →
zerodx(
plus(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
dx(
ALPHA),
dx(
BETA))
dx(
times(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
times(
BETA,
dx(
ALPHA)),
times(
ALPHA,
dx(
BETA)))
dx(
minus(
ALPHA,
BETA)) →
minus(
dx(
ALPHA),
dx(
BETA))
dx(
neg(
ALPHA)) →
neg(
dx(
ALPHA))
dx(
div(
ALPHA,
BETA)) →
minus(
div(
dx(
ALPHA),
BETA),
times(
ALPHA,
div(
dx(
BETA),
exp(
BETA,
two))))
dx(
ln(
ALPHA)) →
div(
dx(
ALPHA),
ALPHA)
dx(
exp(
ALPHA,
BETA)) →
plus(
times(
BETA,
times(
exp(
ALPHA,
minus(
BETA,
one)),
dx(
ALPHA))),
times(
exp(
ALPHA,
BETA),
times(
ln(
ALPHA),
dx(
BETA))))
Types:
dx :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
one :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
a :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
zero :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
plus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
times :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
minus :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
neg :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
div :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
exp :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
two :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
ln :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
hole_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln1_0 :: one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0 :: Nat → one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln
Generator Equations:
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(0) ⇔ a
gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(+(x, 1)) ⇔ plus(a, gen_one:a:zero:plus:times:minus:neg:div:two:exp:ln2_0(x))
No more defined symbols left to analyse.